...lnx,(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若函...
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发布时间：2024-10-23 15:27
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时间：6分钟前
解：（Ⅰ）当a=1时，函数 ，
f（1）=1-1-ln1=0，
f′（x）= ，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1+1-1=1，
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1，即y=x-1；
（Ⅱ）f′（x）= ，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即ax 2 -x+a≥0，得 恒成立，
由于 ，
∴ ，∴ ，
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是 ；
（Ⅲ）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x） min =1；x=1时，g（x） max =e，即 g（x）∈[1，e]，
f′（x）= ，令h（x）=ax 2 -x+a，
当 时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1，
又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x） max ≥g（x） min ，x∈[1，e]，
而 ，g（x） min =1，
即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 。
