...1)若曲线y=[f(x)]2在点(1,f(1))处的切线平行于x轴
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发布时间：2024-10-23 15:27
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时间：2024-11-10 03:16
（1）y/=2f(x)?f/(x)=2(ax+1-lnx)(a-1x)…（1分）
依题意，y′|x=1=2（a+1）（a-1）=0…（2分），解得a=±1…（3分）
（2）f/(x)=a-1x，x＞0．
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，无极值…（4分）
a＞0时，由f′（x）=0得x=1a…（5分）
当0＜x＜1a时f′（x）＜0，当x＞1a时f′（x）＞0…（6分），
所以f（x）在x=1a处取得极小值，极小值为f(1a)=2+lna…（7分）
（3）记g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，则直线y=-x+e与曲线y=f（x）公共点的个数，
即函数g（x）零点的个数．g/(x)=(a+1)-1x
a≤-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，且值域为R，有一个零点…（8分）
a＞-1时，由g′（x）=0得x=1a+1…（9分）
当0＜x＜1a+1时，g′（x）＜0，当x＞1a+1时g′（x）＞0…（10分），
所以f（x）在x=1a+1处取得极小值，极小值为g(1a+1)=(2-e)+ln(a+1)…（11分）
当g(1a+1)=(2-e)+ln(a+1)＞0，即a＞ee-2-1时，g（x）无零点…（12分）
当g(1a+1)=(2-e)+ln(a+1)=0，即a=ee-2-1时，g（x）有一个零点…（13分）
当g(1a+1)=(2-e)+ln(a+1)＜0，即-1＜a＜ee-2-1时，g（x）有两个零点．
综上所述，a≤-1或a=ee-2-1时，直线y=-x+e与曲线y=f（x）有一个公共点；-1＜a＜ee-2-1时，有两个公共点；a＞ee-2-1时，无公共点…（14分）．
