二重积分∫∫㏑(1+x⊃2;+y⊃2;)dxdy D:1≤x⊃2;+y⊃2;≤9
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发布时间：2024-10-23 15:26
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时间：2024-11-02 09:08
答：
变换为极坐标。x=ρcosθ，y=ρsinθ。0<=θ<=2π，1<=ρ<=3。
原积分
=∫(0到2π)dθ∫(1到3) ρln(1+ρ^2) dρ
算这个不定积分：
∫ρln(1+ρ^2) dρ 用分部积分法：
=1/2∫ln(1+ρ^2) d(ρ^2)
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - 1/2∫ ρ^2 d(ln(1+ρ^2))
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - ∫ρ^3/(1+ρ^2) dρ
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - ∫(ρ^3+ρ-ρ)/(1+ρ^2) dρ
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - ∫ρ-ρ/(1+ρ^2) dρ
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - 1/2ρ^2 + 1/2ln(1+ρ^2) + C
所以定积分∫(1到3) ρln(1+ρ^2) dρ
=1/2ρ^2ln(1+ρ^2) - 1/2ρ^2 + 1/2ln(1+ρ^2) |(1到3)
=9/2ln10-9/2+1/2ln10-1/2ln2+1/2-1/2ln2
=5ln10-ln2-4
所以原定积分=∫(0到2π)dθ∫(1到3) ρln(1+ρ^2) dρ
=∫(0到2π) (5ln10-ln2-4) dθ
=2π(5ln10-ln2-4)
