...其其夹角的余弦是方程2X平方-3X-2=0的根,求这个三角形的周长的最...

发布网友 发布时间：2024-10-23 19:23

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热心网友 时间：2024-11-14 22:12

解：设三角形三边为a、b、c;
b+c=10,其夹角为A，解方程2X平方-3X-2=0得X=-1/2，X=2（舍去）
故cosA=-1/2.由余弦定理得a的平方=100-bc
因为b+c=10，当b=c=5时b*c最大，此时a最小，即三角形周长最小，a=5*√3,
周长的最小值=10+5*√3

热心网友 时间：2024-11-14 22:14

如图所示三角形ABC，过点C作AB延长线的垂线，垂足为点D，

则CD⊥AD，CD⊥BD

据题意，AB + AC = 10

设AC = b，则AB = 10 - b

2x^2 - 3x - 2=0

(2x + 1)(x - 2) = 0

x = -1/2或者x = 2

因为x = cos∠BAC≤1(夹角余弦是方程的根）

所以cos∠BAC = -1/2

所以∠BAC = 120°

所以∠CAD = 60°

又因为CD⊥AD，AC = b

所以AD = b/2，CD = √3b/2

从而BD = AD + AB = b/2 + 10 - b = 10 - b/2

又因为CD⊥BD

根据勾股定理

BC^2 = BD^2 + CD^2 = (10 -b/2)^2 + (√3b/2)^ = b^2 - 10b + 100 = (b-5)^2 + 75

BC = √[(b-5)^2 + 75]

显然当b = 5时，即AB = AC = 5时，BC可以取最小值5√3

而三角形周长 = AB + AC + BC = 10 + BC

所以当AB = AC = 5时，三角形周长最小 = 10 + 5√3