【分析力学】Hamilton正则方程及其推导
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发布时间：2024-10-23 17:58
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时间：2024-11-01 15:06
基于Lagrange方程，我们可以推导出基本动力学方程的另一个重要的形式——Hamilton正则方程。其表达式为
其中，Hamilton函数表示为[公式]，广义速度为[公式]，广义动量对时间的导数为[公式]，Lagrange函数表达为[公式]。对于仅受稳定约束的系统，Hamilton量有一个较为简单的表达式，系统动能为[公式]，系统势能为[公式]。
推导过程：我们首先审视Lagrange方程，发现其包含对时间的二阶导数项，形式较为复杂。为了简化方程，引入广义动量的概念。通过定义广义动量为[公式]，在保守系中，动能对于广义速度的偏导数即为相应的动量分量。对上式反解得到[公式]，从而将Lagrange函数表示为系统广义坐标、广义动量和时间的函数[公式]。
通过式(1)和式(2)，我们可以得到[公式]，在[公式] 时间内，Lagrange函数的变化为[公式]。将式(4)代入式(7)，可得[公式]。将式(2)和(6)代入(8)，得到[公式]。对比(7)和(9)，两式中相同的自变量微分前系数相等，从而引入Hamilton函数[公式]。将(13)分别代入(10)、(11)、(12)，我们可以得到Hamilton正则方程[公式]。
在稳定约束下，我们讨论Hamilton量的求解。系统的动能可表示为[公式]。由于仅受稳定约束，[公式] 中不含时间 [公式]。因此可以消去式(15)中的 [公式] 项，推导出[公式]。因此得到[公式]。
总结，Hamilton正则方程为动力学系统提供了一种更为简洁的描述方式，其应用广泛于量子力学与统计力学领域。通过推导过程，我们从Lagrange方程出发，引入广义动量和Hamilton函数，最终得到Hamilton正则方程[公式]，完成了推导过程。
