已知函数y=f(x),(x≠0)对于任意的x,y∈R且x,y≠0满足f(xy)=f(x)+f...
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发布时间：2024-10-23 19:08
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时间：2024-10-24 07:25
（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；
证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f（16x）+f（x-5）≤0可化为f[16x（x-5）]≤f（1），f（|16x（x-5）|）≤f（1），
∴-1≤16x（x-5）≤1，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x-5）图象与y=6，y=-6两直线．
由图可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．
