已知α,β∈(0,π),且tanα/2=1/2,sin(α+β)=5/13,求cosβ

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:06

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热心网友 时间：2024-10-24 00:11

解：由二倍角公式知 tanα=2tan(α/2)/(1-(tan(α/2)�0�5))=2*1/2/(1-(1/2)�0�5)=4/3
即 sinα/cosα=4/3
∵α，β∈(0,π)
所以sinα>0，联立sin�0�5α+cos�0�5α=1 可解得sinα=4/5>0，cosα=3/5>0 ∴α在第一象限内，即0<α<π/2 (若α在第二象限内时，即π/2<α<π时，cosα<0了，你应该懂的)
tanα=4/3>1=tg(π/4)(在(0，π/2)上是增函数)，所以 π/4<α<π/2
又∵0<sin(α+β)=5/13<√2/2=sin(π/4)
而α>π/4，即α+β<π/4不可能成立，所以只能 π/2<α+β<π (因为正弦函数sin只在第一第二象限为正)
所以 cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√[1-sin�0�5(α+β)]=-√[1-(5/13)�0�5]=-12/13 而cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)*sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5
=(20-36)/65
=-16/65你仔细看下应该能懂了，如果还有什么疑问欢迎追问我团，我们很乐意为你效劳！！

热心网友 时间：2024-10-24 00:12

tanα=2tan(α/2)/(1-(tan(α/2)^2))=2*1/2/(1-(1/2)^2)=4/3
即 sinα/cosα=4/3
α，β∈(0,π)
所以
sinα=4/5
cosα=3/5
tanα=4/3>1，所以 α>π/4
0<sin(α+β)=5/13<√2/2=sin(π/4)
而α>π/4所以 π>α+β>π/2
所以 cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13

cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)*sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5
=(20-36)/65
=-16/65，请采纳啊谢谢