速求OAQ!!高中数列问题:在数列{an}中已知a1=a (a>2),且a(n+1)=[(an...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:13

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热心网友 时间：2024-11-05 00:43

证：
(1)
用数学归纳法证：
a2=a1²/[2(a1-1)]=a²/[2(a-1)]=(a²-a+a-1+1)/[2(a-1)]
=[a(a-1)+(a-1)+1]/[2(a-1)]
=(a/2)+(1/2)+1/[2(a-1)]
a>2 a/2>1/2 a/2+1/2>1
a>2 a-1>0 1/[2(a-1)]>0
a2>2
假设当n=k (k∈N+，且k≥2）时，ak>2，则当n=k+1时，设ak=m m>2
a(k+1)=ak²/[2(ak-1)]=m²/[2(m-1)]=(m²-m+m-1+1)/[2(m-1)]
=[m(m-1)+(m-1)+1]/[2(m-1)]
=(m/2)+(1/2)+1/[2(m-1)]
m>2 m/2>1/2 m/2+1/2>1
m>2 m-1>0 1/[2(m-1)]>0
a(k+1)>2
不等式同样成立。
综上，得an>2

(2)
a(n+1)=an²/[2(an-1)]=an²/(2an-2)
a(n+1)/an=an/(2an-2)=(an-1+1)/(2an-2)=(1/2)+(1/2)[1/(an-1)]
an>2 an-1>1 0<1/(an-1)<1 0<(1/2)[1/(an-1)]<1/2
a(n+1)/an<1/2+1/2=1
a(n+1)<an

热心网友 时间：2024-11-05 00:48

证明：a(n+1)=(an)^2/[2(an-1)]=(an-1)/2+1/[2(an-1)],
(1)下面先证明an>2,已知a1=a>2,假设an>2,则由上面的式子得知a(n+1)>=1+1=2,而an>2,所以等号不成立，故有a(n+1)>2.根据数学归纳法原理得知an>2)(n∈N*).
(2)a(n+1)-an=1/2[-(an-1)+1/(an-1)]
f(x)=1/x-x在x>=1时是严格单调减少的，由f(1)=0得知f(x)<0,(x>1)再由an>2知道a(n+1)-an<0
=>a(n+1)<an.(n∈N*)

热心网友 时间：2024-11-05 00:42

1代入。。。。。

热心网友 时间：2024-11-05 00:45

a(n+1)=[(an)^2]/[2(an-1)]
是an-1还是a(n-1)？