从1,2,3,4……1997中最多可取多少个数使他们中任意两个数的差不能被8...
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发布时间：2024-10-23 16:34
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时间：9分钟前
答案是8个。
所有自然数均可以按照它÷8的余数分为8类，余0、余1、余2、余3、……、余7
简写为8-{0}、8-{1}、8-{2}、8-{3}、8-{4}、8-{5}、8-{6}、8-{7}
由带余数除法转化为乘法的过程可知，M÷8=n……a，8-{a}中的数可以表示为8n+a（n是整数）
注意到，任意两个数处于同一类别，那么它们的差一定是8的倍数。
例如，8-{3}中的数均可以表示为8n+3，任取两个，8p+3、8q+3，它们的差为8×（p-q），是8的倍数。
因而，要使得任意两个数的差不能被8整除，那么每一类至多选取一个数。
另一方面，1~1997中显然包含这8类中至少一个，
那么我们可以从这8类数中任选一个可以使得选取个数最多，也就是8个。
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例如，1~8这8个数即可满足要求。
而选取9个数的话，一定要出现两个数处于同一类，之前已经证明这是不能满足要求的。
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