...三边长是三个连续非零自然数,若最大角是最小角的两倍,求三边的长...

发布网友 发布时间：2024-10-23 16:55

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热心网友 时间：1天前

已知三角形的三边长是三个连续非零自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边的长

解：设△ABC中，角A最大，角C最小，A=2C；那么a=n+1，b=n，c=n-1；n∈N；
B=180⁰-(A+C)=180⁰-(2C+C)=180⁰-3C；
由正弦定理，得(n-1)/sinC=(n+1)/sin(2C)=n/sin(180⁰-3C)=n/sin(3C)
由(n-1)/sinC=n/sin(3C)得：
(n-1)sin3C=nsinC；用三倍角的正弦公式代入得：(n-1)(3sinC-4sin³C)=nsinC；
因为sinC≠0，故可以用sinC除方程两边得(n-1)(3-4sin²C)=(n-1)(-1+4cos²C)=n，
故得cos²C=(2n-1)/[4(n-1)]..........(1)
由(n-1)/sinC=(n+1)/sin(2C)得：
(n-1)sin2C=(n+1)sinC，即有2(n-1)cosC=n+1，得cosC=(n+1)/[2(n-1)].........(2)
由(1)(2)得(2n-1)/[4(n-1)]=(n+1)²/[4(n-1)²]
(2n-1)(n-1)²=(n+1)²(n-1)；n≠1；故得(2n-1)(n-1)=(n+1)²；
展开化简得n²-5n=n(n-5)=0，故得n=5，即a=6，b=5，c=4.

热心网友 时间：1天前

初中生：
设ABC中c=2b,
CD为角平分线,则ABC相似于ACD.设出CD,解方程就是了.
高中生：
解：设三角形最小角为a，三边长分别为k-1，k，k+1
则根据正弦定理和已知有
（k-1)/sina=(k+1)/sin2a=(k+1)/2sinacosa
∴cosa=(k+1)/(2k-2)
又∵cosa=[k²+(k+1)²-(k-1)²]/[2k(k+1)]
=(k²+k²+2k+1-k²+2k-1)/(2k²+2k)
=(k²+4k)/(2k²+2k)
=(k+4)/(2k+2)
∴(k+1)/(2k-2)=(k+4)/(2k+2)
(k+1)/(k-1)=(k+4)/(k+1)
(k+1)²=(k+4)(k-1)
k²+2k+1=k²+3k-4
∴k=5
∴△ABC的三边长分别为4，5，6。

热心网友 时间：1天前

你好：dfnycz的解释很好。

热心网友 时间：1天前

根据题目，首先设三边分别为x-1,x,x+1
两个角是a和2a
则2a对x+1，a对x-1

sin2a=2sinacosa
由正弦定理
(x-1)/sina=(x+1)/sin2a=(x+1)/2sinacosa
所以x-1=(x+1)/2cosa
cosa=(x+1)/2(x-1)

由余弦定理
cosa=[(x+1)^2+x^2-(x-1)^2]/2x(x+1)

[(x+1)^2+x^2-(x-1)^2]/2x(x+1)=(x+1)/2(x-1)
2(x-1)(x^2+4x)=2x(x+1)^2
2x(x-1)(x+4)=2x(x+1)^2
x^2+3x-4=x^2+2x+1
x=5

所以三边是4，5，6