...二次型f(x1 x2 x3)= x1^2+x2^2+x3^2-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交...
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发布时间：2024-10-23 17:26
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时间：2024-11-05 02:01
解: 由已知, 二次型的矩阵 A=
1 -2 -2
-2 1 a
-2 a 1
相似于 B = diag(3,3,b).
因为相似矩阵有相同迹, 所以 tr(A) =tr(B)
即 3 = 3+3+b
所以 b = -3.
又因为相似矩阵的行列式相同, 所以 |A|=|B|
|A| = - a^2 + 8a - 7
|B| = -27
所以 a^2-8a-20 = 0
即 (a-10)(a+2) = 0
所以 a = 10 或 a = -2.
|A-λE| =
1-λ -2 -2
-2 1-λ a
-2 a 1-λ
r3-r2, c2+c3
1-λ -4 -2
-2 1-λ+a a
0 0 1-a-λ
= (1-a-λ)[(1-λ)(1-λ+a)-8].
所以1-a 是A的特征值
而A的特征值为 3,3,-3, 所以a=10不符.
故有 a=2,b=-3.
之后不用解了吧.
