(线性代数笔记)1.5初等矩阵
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等价方程组
给定一个线性方程组[公式]，则两边可以乘以一个非奇异的[公式]矩阵
[公式]
显然(1)(2)方程组是等价的，因此可以将一系列非奇异矩阵[公式]应用到(1)两端得到：
[公式]
其中[公式],[公式] 由于[公式]是非奇异的，因此方程组(3)与(1)等价
初等矩阵
定义：如果从单位矩阵[公式]开始，只进行一次初等行运算，得到的矩阵称为初等矩阵。例如：
[公式]
为第I类初等矩阵，因为它可通过交换I的前两行得到
[公式]
为第II类矩阵，可以通过将I的第三行乘以3得到
[公式]
为第III类矩阵，可以通过将I的第三行的三倍加到第一行得到
一般地，假设E为一[公式]的初等矩阵。我们可以认为E是由Ⅰ经过一个行运算或一个列运算得到的。若A为一[公式]的矩阵，A左乘E的作用就是对A进行相应的行运算。若B为一[公式]的矩阵，B右乘E等价于对B进行相应的列运算。
注意：这个对于矩阵乘法的理解有非常重要的作用
定理：若E为一初等矩阵，则E是非奇异的，且[公式]为一与它同类型的初等矩阵。
定义：若存在一个有限初等矩阵的序列[公式]，使得[公式]，则称A与B为行等价的。
行等价矩阵的性质
1. [公式] 2. [公式]
定理(非奇异矩阵的等价条件)：令A为一n×n矩阵，则下列命题是等价的：
(a)A是非奇异的。
(b)A[公式]
(c)A与I行等价
推论：当且仅当A非奇异时，n个未知量n个方程的线性方程组A[公式]有唯一解。
对角矩阵和三角形矩阵
一个[公式]矩阵A，当[公式]时，[公式]，则称为上三角形的。当[公式]时，[公式]，则称为下三角形的。例如，[公式]矩阵
[公式]
均为三角形的，其中第一个是上三角形的，第二个是下三角形的。
一个[公式]的矩阵A，当[公式]时，[公式]，则称为对角的。对角矩阵既是上三角形的又是下三角形的。
三角形分解：如果[公式]矩阵A可仅利用行运算III化简为严格三角形的(用U表示)，则L可表示化简过程，即[公式]
其中L为对角元素为1的下三角矩阵。该过程被称为LU分解。
