...32(a+2)x2+6x-3(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;(2)当a<2时,讨论函数...
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发布时间：2024-10-24 15:00
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f'（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）当a=-2时，f'（x）=-6（x+1）（x-1），
令f'（x）=0得x1=1，x2=-1，
f'（x）＜0时，x＜-1或x＞1；f'（x）＞0时，-1＜x＜1．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递增区间为（-1，1），
f（x）极小值=f（-1）=-7，f（x）极大值=f（1）=1．
（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）2
∴f（x）只有一个零点．
②若a＜0，f′（x）=0的两根为x1＝2a，x2＝1，则2a＜1，
∴当x＜2a或x＞1时，f'（x）＜0，当2a＜x＜1时，f'（x）＞0
∴f（x）的极大值为f(1)＝?a2＞0∵f（x）的极小值为f(2a)＝?4a2+6a?3＜0
∴f（x）有三个零点．
③若0＜a＜2，则2a＞1，
∴当x＜1或x＞2a时，f'（x）＞0，当2a＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f（x）的极大值为f(1)＝?a2＜0
∴f（x）有一个零点．
综上，当a＜0时，f（x）有3个零点；当0≤a＜2时，f（x）有1个零点．
