已知函数f(x)=ax3?32(a+2)x2+6x?3试讨论曲线y=f(x)与x轴的公共点的个...
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发布时间：2024-10-24 15:00
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时间：2024-11-05 19:23
f'（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3[ax2-（a+2）x+2]…（1分）
当a=0时，f（x）=-3（x-1）2≤0，f（x）=0有且仅有一解；
当a＜0时，f′(x)＝3a(x?2a)(x?1)，2a＜1，
∴f极小＝f(2a)＝?3a2+6a?4a2＜0，f极大＝f(1)＝?a2＞0
所以，此时f（x）=0有三个不同的实数解； …（6分）
当a＞0时，
①若2a＞1，即0＜a＜2时，∴f极小＝f(2a)＜f极大＝f(1)＝?a2＜0
f（x）=0有且仅有一解；
②若2a＝1，即a=2时，f'（x）=6（x-1）2≥0函数为R上增函数，
f（0）=-3＜0，f（2）=1＞0，f（x）=0有且仅有一解；
③若2a＜1，即a＞2时，
∴0＞f极大＝f(2a)＝?3a2+6a?4a2＞f极小＝f(1)＝?a2，f（x）=0有且仅有一解； 14分
