计算方法/数值分析-第一章(泰勒公式+误差传播规律)
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发布时间：2024-10-24 15:55
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时间：2024-10-24 18:07
泰勒公式
对于一元函数而言，我们可以将其在某点的邻域内的值以一个多项式的形式表示，此多项式用该点的函数值以及各阶导数值构成。具体公式为：函数在x0点存在直到n阶导数，则由这些导数构造的n次多项式。
在多元函数中，我们同样可以使用泰勒展开来表示在某点处的函数值。将函数表示为一个围绕该点的多项式，并通过各阶偏导数来构建。
计算一元函数值的情况
当给定的x*作为近似值时，我们将计算得到y*即f(x*)亦为近似值。通过一阶泰勒展开，我们可以计算出y*的绝对误差和相对误差。
多元函数的计算情况
同理，若在多元函数中，每个输入的参数都有一个近似值时，则可以通过泰勒展开得到函数在该点的近似值y*。通过计算在各近似点处的一阶泰勒展开，可以获得y*的绝对误差和相对误差。
误差计算及规律
一元函数和多元函数在进行加、减、乘、除运算时，若考虑输入的值的误差，则可以计算得到输出误差的上限。一、尽量避免两个相近的数相减，因为这会严重损失有效数字。避免在数值计算中造成大数吃小数的现象，特别是在数量级相差极大的情况下。避免使用绝对值较小的数作为除数。另外，通过简化计算步骤，减少运算次数，能有效提升计算效率并降低舍入误差。在选择算法时，优先考虑数值稳定性，即确保在运算过程中，舍入误差不会增加。
