求微分方程(y^2)dx+(y^2+2xy-x)dy=0的通解.

发布网友 发布时间：2024-10-24 15:55

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热心网友 时间：2024-11-06 03:42

简单分析一下，详情如图所示

热心网友 时间：2024-11-06 03:36

此题最简单解法：积分因子法。
解：∵y²dx+(y²+2xy-x)dy=0 ==>e^(1/y)*y²dx+e^(1/y)*(y²+2xy-x)dy=0 (方程两端同乘e^(1/y))
==>e^(1/y)*y²dx+e^(1/y)*(2y-1)xdy+e^(1/y)*y²dy=0
==>e^(1/y)*y²dx+xd[e^(1/y)*y²]+e^(1/y)*y²dy=0
==>d[xy²e^(1/y)]+e^(1/y)*y²dy=0
==>xy²e^(1/y)+∫e^(1/y)*y²dy=C (C是积分常数)
∴原方程的通解是xy²e^(1/y)+∫e^(1/y)*y²dy=C。

热心网友 时间：2024-11-06 03:42

其实，到dx/dy+p(y)x=Q(y)就已经很简单了，下面我教你怎么做：
首先，解决dx/dy+p(y)x=0的解，利用变量分离法积分即可，得;x=e^(-∫p(y)dy)*c,
其中c为常数。
然后，令x=e^(-∫p(y)dy)*c(y);c(y)是y的函数，将其带入原dx/dy+p(y)x=Q(y)方程，求出c(y)后，再代入x=e^(-∫p(y)dy)*c(y)就是所求结果。也可以套公式：
x=e^[-∫p(y)dy]*{∫Q(y)*e^[∫p(y)dy]dy+c},希望对你有帮助。