...最大子数组、Strassen、凸包、棋盘覆盖) 超详解
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发布时间：2024-10-24 14:57
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时间：2024-10-29 05:13
将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法被称为分治策略。分治策略通常包含三个步骤：将问题分解为子问题、递归地求解子问题、将子问题的解组合成原问题的解。
递归算法是分治策略的一种实现形式。它通常包含递归地调用自身，传入较小的参数。递归算法需要明确的中止条件，处理基本情况，这些情况不可以有任何递归调用。例如，求n!的基本情况是n=1时，结果为1；归并排序的基本情况是数组长度为1时，直接返回原数组。
在分析分治算法的效率时，可以使用迭代法（递归树法）进行分析。迭代法通过构建递归树来表示算法的运行过程，计算每层合并的代价，最终得出算法的总代价。例如，求n!的递推公式和归并排序的递推公式分别描述了算法的运行过程，通过递归树可以计算出算法的运行时间复杂度为O(nlogn)。
主定理方法是另一种分析递归算法效率的工具。它通过比较递归函数f(n)与参数b之间的关系来判断算法的运行时间复杂度。主定理可以分为三种情况：当f(n)的增长速度大于或等于bn^(log_b(a))时，运行时间为O(n^(log_b(a)))；当f(n)的增长速度小于bn^(log_b(a))时，运行时间为O(n^(log_b(a)))；当f(n)的增长速度等于bn^(log_b(a))时，运行时间为O(n^(log_b(a)))。通过主定理可以快速判断算法的运行时间复杂度。
最近点问题是在平面上找到距离最近的两个点。通过将点集分为两部分，递归求解两部分的最近点对，然后合并结果。在合并两部分时，只需要检查距离小于特定距离d的点对，复杂度为O(n)。
最大子数组问题要求在数组中找到和最大的连续子数组。分治法通过将问题分解为子问题，分别求解子数组的最大和，然后将子问题的解合并。通过递归分析，可以得出算法的运行时间复杂度为O(n)，比蛮力法的O(n^2)快得多。
Strassen算法是一种高效的矩阵乘法算法，将矩阵分为四块进行计算，通过减少乘法次数来提高效率。通过主定理分析，可以证明Strassen算法的运行时间复杂度优于传统矩阵乘法的O(n^3)。
凸包问题是在给定点集上构建凸包。分治法通过将点集分为两部分，递归求解两部分的凸包，然后合并结果。根据不同的情况，复杂度为O(n)或O(nlogn)。
棋盘覆盖问题是在棋盘中用特定形状的骨牌覆盖所有方格，除了特殊方格。通过递归算法，可以将大棋盘逐步分割为小棋盘，然后使用骨牌填充。递推公式描述了算法的运行过程，可以快速解决该问题。
