优化基本理论与方法(12)约束集上的优化问题
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发布时间：2024-10-24 16:19
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时间：2024-11-09 14:38
梯度投影法（Gradient Projection method）在受限优化问题中占有重要地位，其起源可以追溯到20世纪60年代，由Goldstein、Levitin和Polyak等人提出。相较于无约束情况下的梯度方法，梯度投影法在计算时需将梯度投影至可行集内，以确保搜索方向的合理性和优化过程的有效性。通过找到梯度的替代品，梯度投影法可以避免直接使用梯度可能导致的解跳出可行集的问题。在求解最小化问题时，梯度投影法通过近邻算子和梯度映射来继承梯度方法的两个关键性质，即沿梯度反向的一步下降使得函数值减小，以及不等式约束的考虑。通过定义投影操作，确保了每一步迭代后测试点始终位于可行集内。
梯度投影法的效率分析与无约束条件下的分析类似，存在线性收敛的定理。定理指出，在强凸函数下，梯度投影法以线性速度收敛；如果函数仅为Lipschitz连续，则与普通的梯度方法有相同的收敛速度。定理还指出，梯度投影法在强凸和凸函数情况下均收敛，且只要函数满足Lipschitz光滑性，该方法总是收敛的。此外，梯度投影法在深度学习领域中的对抗样本攻击中广泛应用，通过在给定干净样本上添加扰动以改变模型预测，实现对模型的攻击。
然而，梯度投影法在处理非“简单”闭凸集时，如非负象限约束、盒子约束、单纯形约束、球或球约束时，其投影操作可能难以实现，了其应用范围。相比之下，Frank-Wolfe（FW）算法则避免了这一问题，通过去除投影操作，FW算法仅需要依赖一个求解域上的线性优化问题。FW算法内存消耗低，且无投影操作，因此在受限优化问题中非常受欢迎。
FW算法适用于求解非线性受限优化问题，特别是当域满足紧集和梯度Lipschitz条件时。该方法的核心思想是利用线性最小化Oracle（LMO）在域内找到与负梯度方向成最大内积的方向，从而进行迭代更新。在特定域下，FW算法的LMO步骤可以直接求解，如在范数定义的域下，LMO简化为对偶范数最大值的计算。FW算法的收敛性分析揭示了其在凸函数情况下的线性收敛特性，且通过选择合适的步长更新策略，可以达到更高效的收敛速率。此外，FW算法在机器学习和优化领域受到广泛关注，尤其是由于其内存消耗低和无投影操作的特点，使其在处理大规模和高维度问题时具有优势。
总结而言，梯度投影法和FW算法都是解决受限优化问题的有效方法，它们在不同的应用场景下展现出各自的优点。梯度投影法在处理“简单”闭凸集时表现良好，而FW算法则通过去除投影操作，为解决更广泛的受限优化问题提供了高效解决方案。两者在理论和应用上都具有重要意义，是优化理论研究和实践应用中的重要组成部分。
